Eksponencijalna funkcija i potencije

Evo malo matematike :D



Na ovo što ću sada iznijeti ponukala me činjenica da eksponencijalna funkcija f(x)=a^x uvijek raste brže od funkcije potencija g(x)=x^b ma koliko god a bio mali (pod uvijetom da je veći od 1) i koliko god b bio velik.



Uzmimo funkciju f(x)=2^x i funkciju g(x)=x^2. Mene je zanimalo kad će funkcija f, 'prestići' funkciju g.



Tako imamo:

2^3<3^2

2^4=4^2

2^5>5^2

dakle, za x<4, f je manja, za x=4 funkcije se izjednačavaju, te je nadalje f veća od g.



Dalje imamo funkciju f(x)=2^x i funkciju g(x)=x^4, dakle prvu funkciju ne diramo, a u drugoj eksponent povećamo na 4.



Pa imamo:

2^15<15^4

2^16=16^4

2^17>17^4, izjednačenje se dogodilo za x=16



Ponovno prvu funkciju ne diramo, a u drugoj eksponent povećamo na 8



2^43<43^8, ali

2^44>44^8, dakle nemamo cijelobrojno riješenje kad će ove 2 funkcije postati jednake



slično je i za eksponent 16



2^108<108^16

2^109>109^16



ali za eksponent 32, začudo, ponovno imamo izjednačenje:

2^255<255^32

2^256=256^32

2^257>257^32

za x<256 f(x)<g(x), za x=256 f(x)=g(x), za x>256 f(x)>g(x)

za daljnnje pokušaje u kalkulatoru se dogodi preljev.



Mene je zanimalo može li se naći pravilo kad će se naći cijelobrojno 'izjednačenje'. Ako promatramo samo eksponent b, imamo niz: 2, 4, 32 gdje se teško može naći pravilnost. Ako pak promatramo x za slučajeve izjednačenja imamo ljepši niz: 4, 16, 256 odnosno 2^2, 2^4, 2^8 što se može zapisati kao x= 2^2^n, n=1,2,3...



kad tako zapišemo funkciju f dobivamo f(x)=2^x=2^2^2^n, a za g(x)=x^b=(2^2^n)^b, pri čemu se b može izraziti preko x i n, b=x/2^n=2^2^2^n/2^n. Važno je da se ne pogubimo u tim silnim eksponentima, a ovdje ih ne mogu bolje zapisati. Zanima me jel postoji ovakav zapis negdje u matematici, ili sam sada otkrio nešto novo (a nevažno).